Der Fundamentalsatz der Arithmetik

Stell dir vor, wir leben in prähistorischen Zeiten. Nun überlege dir Folgendes. Wie haben wir die Zeit verfolgt, ohne eine Uhr zu haben? Alle Uhren basieren auf irgendeinem sich wiederholenden Muster, das den Fluss der Zeit in gleich große Segmente teilt. Um diese sich wiederholenden Muster zu finden, schauen wir in den Himmel. Das Auf- und Untergehen der Sonne jeden Tag ist das Offensichtlichste. Um jedoch längere Zeiträume zu verfolgen, suchten wir nach längeren Zyklen. Hierfür schauten wir zum Mond, der scheinbar über viele Tage hinweg allmählich wuchs und schrumpfte. Wenn wir die Anzahl der Tage zwischen Vollmonden zählen, kommen wir auf die Zahl 29. Das ist der Ursprung eines Monats. Wenn wir jedoch versuchen, die 29 in gleich große Stücke zu teilen, stoßen wir auf ein Problem. Es ist unmöglich. Der einzige Weg, die 29 in gleich große Stücke zu teilen, besteht darin, sie wieder in Einzelteile zu zerlegen. 29 ist eine Primzahl. Stell sie dir als unzerbrechlich vor. Wenn eine Zahl in gleich große Teile größer als eins zerlegt werden kann, nennen wir sie eine zusammengesetzte Zahl. Jetzt, wenn wir neugierig sind, fragen wir uns vielleicht, wie viele Primzahlen es gibt und wie groß sie werden können? Fangen wir damit an, all Zahlen in zwei Kategorien einzuteilen. Wir listen die Primzahlen links und die zusammengesetzten Zahlen rechts auf. Anfangs scheinen sie hin und her zu tanzen. Es gibt kein offensichtliches Muster hier. Lasst uns also eine moderne Technik verwenden, um das große Bild zu sehen. Der Trick besteht darin, eine Ulam-Spirale zu verwenden. Zuerst listen wir alle möglichen Zahlen in einer wachsenden Spirale auf. Dann färben wir alle Primzahlen blau. Schließlich zoomen wir heraus, um Millionen von Zahlen zu sehen. Das ist das Muster der Primzahlen, das endlos weitergeht. Unglaublicherweise ist die gesamte Struktur dieses Musters bis heute noch ungelöst. Wir sind auf der Spur von etwas. Spulen wir also vor bis etwa 300 v. Chr. im antiken Griechenland. Ein Philosoph namens Euklid von Alexandria verstand, dass alle Zahlen in diese zwei unterschiedlichen Kategorien aufgeteilt werden konnten. Er begann mit der Erkenntnis, dass jede Zahl immer wieder geteilt werden kann, bis man eine Gruppe kleinster gleicher Zahlen erreicht. Und per Definition sind diese kleinsten Zahlen immer Primzahlen. Er wusste also, dass alle Zahlen irgendwie aus kleineren Primzahlen zusammengesetzt sind. Um es klar zu machen, stell dir das Universum aller Zahlen vor und ignoriere die Primzahlen. Wähle nun eine zusammengesetzte Zahl und zerlege sie, und du bleibst immer mit Primzahlen übrig. Euklid wusste, dass jede Zahl ausgedrückt werden könnte, indem eine Gruppe kleinerer Primzahlen verwendet wird. Stell dir diese als Bausteine vor. Ganz gleich, welche Zahl du wählst, sie kann immer mit einer Addition kleinerer Primzahlen gebaut werden. Dies ist die Wurzel seiner Entdeckung, bekannt als der Hauptsatz der Arithmetik, wie folgt. Nimm irgendeine Zahl, sagen wir 30, und finde alle Primzahlen, in die sie sich gleichmäßig teilt. Das kennen wir als Faktorisierung. Das gibt uns die Primfaktoren. In diesem Fall sind 2, 3 und 5 die Primfaktoren von 30. Euklid erkannte, dass man diese Primfaktoren dann eine um eine bestimmte Anzahl multiplizieren konnte, um die ursprüngliche Zahl zu bilden. In diesem Fall multiplizierst du einfach jeden Faktor einmal, um 30 zu bilden. 2 mal 3 mal 5 ist die Primfaktorisierung von 30. Denke daran als einen speziellen Schlüssel oder eine Kombination. Es gibt keinen anderen Weg, 30 mit einigen anderen Gruppen von Primzahlen zusammen zu bauen, die multipliziert werden. So hat jede mögliche Zahl eine und nur eine Primfaktorisierung. Eine gute Analogie ist, jede Zahl als ein anderes Schloss vorzustellen. Der einzigartige Schlüssel für jedes Schloss wäre seine Primfaktorisierung. Keine zwei Schlösser teilen sich einen Schlüssel. Keine zwei Zahlen teilen sich eine Primfaktorisierung.