e und Zinseszinsen

Nehmen wir an, du brauchst dringend einen Dollar. Du gehst also zu einem Kredithai und sagst, dass du ein Jahr lang einen Dollar leihen willst. Der Kredithai hat gute Laune und sagt, dass er dir den Dollar für ein Jahr leiht, und zwar zum niedrigen Zinssatz von 100% pro Jahr. Wie viel müsstest du in einem Jahr zahlen? Du musst die ursprüngliche Kreditsumme, die du dir geliehen hast, plus 100% davon bezahlen. Plus noch 1 Dollar. Das ergibt also eindeutig 2 Dollar. Du sagst, dass das viel ist, weil du das Doppelte von dem zurückzahlen musst, was du dir geliehen hast. Es ist möglich, dass du das Geld in 6 Monaten hättest. Du fragst den Kredithai, welche Vereinbarung ihr dafür treffen könntet. Er sagt, dass er bei einer Rückzahlung nach 6 Monaten die Hälfte der Zinsen für die Hälfte der Zeit berechnet. Du leihst dir 1 Dollar, also werden dir in 6 Monaten 50% Zinsen berechnet. 50% Zinsen für 6 Monate. Das hier war 1 Jahr. Wie viel müsstest du zahlen? Du müsstest die Kreditsumme zurückzahlen, die du dir geliehen hast, den 1 Dollar + 50% dieses 1 Dollars. + 0,50, was natürlich 1,50 ergibt. Es ergibt 1,50. Ich schreibe es so auf. Jetzt denkst du, dass das besser ist. Was passiert, wenn du das Geld bis dahin nicht hast, und trotzdem 1 Jahr zur Rückzahlung brauchst? Dafür gibt es ein System. Wenn du das Geld noch nicht hast, bekommst du den Betrag, den du brauchst, für weitere 6 Monate. Du bekommst ihn weitere 6 Monate für denselben Zinssatz von 50%. Dann schuldest du die ursprünglichen 1,50 + 50% der Kreditsumme, also + 0,75. Das ergibt 2,25. Anders betrachtet: Im ersten Zeitraum multipliziere ich 1 mit 1,5. Wenn etwas um 50% anwächst, multiplizierst du es einfach mit 1,5. Wenn es um weitere 50% anwächst, kannst du wieder mit 1,5 multiplizieren. Anders gesagt: Ein Zinssatz von 50% ist dasselbe wie mit 1,5 zu multiplizieren. Wenn du bei 1 beginnst, und zweimal mit 1,5 multiplizierst, ist es dasselbe. 2,25 ist 1 zweimal mit 1,5 multipliziert. Zweimal mit 1,5 zu multiplizieren ist dasselbe wie 1,5². Dasselbe siehst du hier drüben. 100% ist dasselbe wie mit 2 zu multiplizieren. Wir multiplizieren mit 1 + 1. Wir multiplizieren mit 2. Das hier kannst du also als 1(2)^1 schreiben, da du nur einen Zeitraum, nämlich 1 Jahr, hast. Woher kommt die 2? 100% bedeuten, dass du in dem Zeitraum das Doppelte zahlst. Du bezahlst die Kreditsumme + 100%. Du bezahlst das Doppelte von dem, was du ursprünglich geliehen hast. Wenn dir jemand 50% über alle Zeiträume hinweg berechnet, dann bezahlst du die Kreditsumme + 50% davon. Also 1,5 ⋅ die Kreditsumme. Du multiplizierst jedes Mal mit 1,5. Wenn du sehen willst, wie es mit dem Zinssatz zusammenhängt: Das hier drüben ergibt 1(1 + (100%/1))^1. Das sieht ein bisschen verrückt aus, 1 + 1 so umzuschreiben, aber du wirst sehen, dass wir so weiterschreiben können, wenn wir über verschiedene Zeitperioden aufzinsen. Das hier drüben können wir umschreiben. Wir beginnen mit 1(1 + 100%), hier haben wir unsere 100% für das erste Jahr auf 2 Zeitperioden aufgeteilt. Zwei 6-Monats-Perioden. Jede davon 50%. (1 + (100%/2)) ist dasselbe wie 1,5, und wir haben es über 2 Perioden aufgezinst. Ich schreibe die Exponenten in einer anderen Farbe. Du siehst vielleicht ein Muster. Diese 2,25 gefallen dir nicht. Es ist mehr als die ursprünglichen 2, also fragst du, ob man das auch über 12 Monate machen könnte. Der Kredithai sagt ja, dafür gibt es ein System, bei dem jeden Monat 100%/12 Zinsen berechnet werden. Das ist dasselbe wie 8 1/3%. Du musst die Kreditsumme + 8 1/3% zurückzahlen, das ist dasselbe, wie mit 1,083 zu multiplizieren. Nach einem Monat müsstest du 1,083 zurückzahlen, die Zeichnung für 2 Monate ist nicht ganz im Maßstab, aber nach 2 Monaten müsstest du wieder mit 1,083 multiplizieren, also mit (1,083)². Wenn du das für alle 12 Monate machst, also noch weitere 10 Monate, welche Gesamtzinsen müsstest du dann über das Jahr zahlen, wenn du das Geld nicht aufbringen könntest? Wenn du es jedes Mal wieder leihen müsstest. Die Zinsen werden aufgezinst. Für einen Monat hast du 1,083 bzw. 1,083^1. Das hier ist für 2 Monate. Also musst du hier 12 im Exponenten haben. Wir haben 8 1/3% über 12 Zeitperioden aufgezinst. Wenn du es in dieser Form hier drüben schreiben würdest, wäre es dasselbe wie die ursprüngliche Kreditsumme 1(1 + (100%/12)), wir haben unsere 100% auf 12 Zeitperioden verteilt, also zinsen wir 12 mal auf. Wir haben also 12 im Exponenten. Was ergibt das hier drüben? Wir verwenden einen Taschenrechner dafür. Was ergibt das? Wir haben 1,083. Es gibt mehrere Wege, es zu berechnen. Ich muss das nicht umschreiben. Ich habe das so geschrieben, damit du hoffentlich die Struktur darin erkennst. 100% ist dasselbe wie 1. (1 + (1/12))^12. Es ergibt gerundet 2,613. Du denkst dir vielleicht, dass das ein interessantes Spiel ist, und hast deine finanziellen Nöte fast vergessen, und fragst dich, was passiert, wenn wir weitermachen. Hier hatten wir 100% über 1 Jahr, hier hatten wir 50% alle 6 Monate, hier haben wir 100%/12 bzw. 8 1/3% alle 12 Monate, bis wir diese Zahl erhalten. Was würde passieren, wenn wir jeden Tag aufzinsen? Wenn du dir 1 Dollar leihst, und dir jeden Tag 100%/365 berechnet werden. 100%/365 und das wird 365 mal aufgezinst. Du fragst dich, was dabei herauskommt. Was erhalten wir nach einem Jahr? Du hast deine ursprüngliche Kreditsumme, multipliziert mit (1 + 100%/365). Wir haben 365 Zeitperioden. Wir zinsen auf. Jeden Tag, an dem der Kredit nicht bezahlt ist, müssen wir mit 1 + (100%/365) multiplizieren. Also setzen wir 365 in den Exponenten. Du denkst bestimmt, dass 365 im Exponenten zu haben, zu einer riesigen Zahl führt. Dann denkst du vielleicht, dass es nicht so schlimm wird, da 100%/365 eine kleine Zahl sein wird. Sie ist relativ nahe an 1. Egal, wie groß der Exponent von 1 ist, wir bekommen nichts Riesiges heraus. Schauen wir mal, was es ergibt. 100% ist dasselbe wie 1/365, und wir setzen 365 in den Exponenten. Wir erhalten 2,71456. Das ergibt ungefähr 2,7. 2,7145675 und so weiter. Das ist ziemlich interessant. Es sieht so aus, als würden wir, wenn wir hier immer größere Zahlen einsetzen, nicht plötzlich eine riesige Zahl erhalten, sondern uns einer magischen Zahl nähern. Das stimmt auch. Wenn wir 100% durch immer größere Zahlen dividieren würden, und diese Zahl in den Exponenten setzen, nähern wir uns der magischsten und mystischsten Zahl überhaupt. Der Eulerschen Zahl. Du siehst sie hier auf dem Taschenrechner. Hier ist e^x. Ich setze 1 in den Exponenten, damit du die Eulersche Zahl im Taschenrechner siehst. Bereits mit (1 + (1/365))^365 im Exponenten kommen wir der Eulerschen Zahl sehr nahe. Ich ermutige dich, das mit immer größeren Zahlen auszuprobieren. Du wirst dieser magischen Zahl immer näherkommen. Zinsen zahlen ist nicht so schlimm, da die Eulersche Zahl eine wirklich schöne Zahl ist.