Zunehmende, abnehmende, positive oder negative Intervalle

Was ich hier tun möchte ist: schau dir den Graph y = f(x) an. In welchen Intervallen ist der Graph positiv oder negativ und in welchen Intervallen, steigt oder fällt der Graph? Fangen wir damit an zu überlegen, wann die Funktion positiv ist. Positiv bedeutet, dass der Wert der Funktion größer als 0 ist. Das bedeutet, der Wert der Funktion liegt über der x-Achse. Also über der x-Achse, direkt hier an diesem Platz den ich gelb markiere und auch hier über der x-Achse. Möchten wir nun die Intervalle mathematisch beschreiben, dann sagen wir, dieser Punkte hier ist x = a. dann sagen wir, dieser Punkte hier ist x = a. Und der hier ist x = b und dieser ist x = c. Dann ist der Graph positiv, solange x zwischen a und b ist. Ist x = a oder b, dann ist der Wert unserer Funktion = 0. Aber sie ist positiv, wenn x zwischen a und b liegt oder x größer als c ist. Wir können schreiben: c < x oder auch: x > c. Das sind die Intervalle, bei denen die Funktion positiv ist. Ich schreibe es noch einmal: f(x) ist positiv, wenn x in diesem oder in diesem Intervall liegt. wenn x in diesem oder in diesem Intervall liegt. Wann ist dann f(x) negativ? Ich benutze hierfür eine andere Farbe. f(x) ist negativ, wenn x kleiner als a ist. f(x) ist negativ, wenn x kleiner als a ist. Wenn x kleiner als a ist oder x zwischen b und c liegt. Dann sehen wir, x ist unter der x-Achse. F(x) ist hier unten und damit negativ. Hier oder x ist zwischen b und c. Und ich sage nicht kleiner oder gleich! Denn liegt x auf b oder c ist der Funktionswert = 0! f(c) ist null. Hier schneiden wir tatsächlich die x-Achse. Soweit so gut und logisch. Stellen wir uns nun eine andere Frage: Wann steigt oder fällt die Funktion? Wann ist f(x) ansteigend? Man könnte sagen, dass jedesmal, wenn x ansteigt auch y ansteigen sollte. Oder auch: es gibt eine positive Veränderungsrate von y in Abhängigkeit von x. Oder auch: es gibt eine positive Veränderungsrate von y in Abhängigkeit von x. Wir könnten uns auch vorstellen, wenn wir an jedem Punkt eine Tangente zeichnen, dann wäre die Kurve der Tangente positiv. Für mich am einfachsten ist aber der Gedanke: erhöht man x, erhöht man damit auch y. Wo steigt die Funktion also? Ich verwende blau. Sie steigt, bis wir zu diesem Punkt hier kommen, Sie steigt, bis wir zu diesem Punkt hier kommen, und an diesem Punkt fängt sie an zu fallen. bis wir zu diesem Punkt hier kommen. Hier steigt sie wieder an. Hier steigt sie wieder an. Ich schreibe hier ein paar weitere Bezeichnungen hin. Sagen wir, das ist x = d und das hier drüben ist -- in der grünen Farbe -- das ist also x = d. Jetzt haben wir x, d, b, aber ihr versteht die Logik. Und sagen wir x = e. Und sagen wir x = e. Und sagen wir x = e. Also wann steigt die Funktion an? Sie steigt, wenn x kleiner als d ist. Und ich sage nicht kleiner gleich! Denn ist x = d, dann scheint es, als ob in diesem Moment die Kurve der Tangente konstant wäre. ob in diesem Moment die Kurve der Tangente konstant wäre. Jetzt gehen wir von steigend zu fallend. An Punkt d steigt und fällt die Funktion nicht. Wir steigen aber auch, wenn x kleiner als d ist oder wenn x größer als e ist. Und wann fällt f(x)? Das mach ich mal in einer andere Farbe. Wenn f(x) also fällt, dann ist das direkt hier drüben. Direkt zwischen d und e. Zwischen x = d und x = e. Aber nicht direkt auf diesen Punkten! Denn auf diesen Punkten steigt oder fällt sie nicht.. Wenn x wie hier ansteigt, was passiert dann mit y? Wenn x wie hier ansteigt, was passiert dann mit y? Kommen wir von diesem Punkt und erhöhen x was geschieht mit y? y wird fallen. Erhöhst du x, dann sinkt das y. Erhöhst du x, dann sinkt das y. Erhöht man x, so fällt y bis zu diesem Punkt hier. Erhöht man x, so fällt y bis zu diesem Punkt hier. f(x) sinkt also für x zwischen d und e. Das gibt euch hoffentlich ein Gespür dafür- das sind nicht dieselben Intervalle. Die Intervalle, an denen wir eine positive und negative Funktion haben, stimmen nicht mit den steigenden und fallenden Intervallen überein. Daher ist es wichtig beide Fälle getrennt zu betrachten, auch wenn diese ähnlich klingen.