Zusammengesetzte Ungleichungen: ODER

Löse nach z auf. 5z plus 7 ist kleiner als 27 oder -3z ist kleiner oder gleich 18. Das ist eine verknüpfte Ungleichung. Hier haben wir zwei Bedingungen. z kann dies hier oder das da erfüllen. Wir lösen einfach beide und wissen, dass z beide lösen kann. Gucken wir es uns an. Wenn wir dieses hier betrachten haben wir 5z plus 7 ist kleiner als 27. Wir isolieren die z's auf der linken Seite. Wir ziehen von beiden Seiten 7 ab, um die 7 links loszuwerden. Links steht nur noch 5z. +7, -7 hebt sich gegenseitig auf. 5z ist kleiner als 27 - 7, ergibt 20. Somit ist 5z kleiner als 20. Jetzt teilen wir beide Seiten der Ungleichung durch 5. Und wir müssen die Ungleichung nicht umdrehen weil wir durch eine positive Zahl teilen. Also sehen wir: z ist kleiner als 20 geteilt durch 5. z ist kleiner als 4. Das war aber nur eine der Bedingungen. Schauen wir uns die andere an. Wir haben -3z ist kleiner oder gleich 18. Um z zu isolieren könnten wir jetzt beide Seiten dieser Ungleichung durch -3 teilen. Aber erinnert euch: Dividiert oder multipliziert man beide Seiten einer Ungleichung durch eine negative Zahl muss man die Ungleichung umdrehen. Wir könnten also -3z schreiben. Wir teilen es durch -3. Und bekommen 18 heraus. Wir teilen durch -3, aber wir tauschen die Ungleichung. Das "kleiner oder gleich" wird zu "größer oder gleich". Und so gleichen sie sich gegenseitig aus. -3 geteilt durch -3 ist 1. So ist z größer oder gleich 18 geteilt durch -3 und das ist -6. Vergesst nicht, es ist diese oder diese Bedingung. Die hier bedeutet im Endeffekt das hier. Und die andere bedeutet dann das hier. Unsere Lösungsmenge: z ist kleiner als 4 oder z ist größer oder gleich -6. Um das klar zu machen schreibe ich es nochmal. z könnte kleiner als 4 sein oder z ist größer oder gleich -6. Es kann beides erfüllen. Und das ist ziemlich interessant. Lasst es uns zeichnen. Lasst es uns zeichnen. Hier ist unser Zahlenstrahl. Sagen wir 0 ist hier. Da haben wir 1, 2, 3, 4. Und dann -6. Wir haben 1, 2, 3, 4, 5, 6. Da hinten liegt -6. z ist also kleiner als 4. Wir umkreisen 4, weil 4 nicht dazuzählt. Und es wäre alles was weniger als 4 ist. Und was bedeutet es, wenn z größer oder gleich -6 ist? Das bedeutet -6 wird mit einbezogen. Und es ist alles -- ich benutze eine andere Farbe - Alles, -6 mit einbezogen. Ich wollte das -- jetzt geht's los. Alles, -6 mit einbezogen. Ich benutze eine noch bessere Farbe. Orange. Also ist z größer oder gleich -6. Bedeutet, -6 wird mit eingeschlossen. Und es ist alles größer als das hier, auch als 4. Einfach alles größer als das. Wie wir sehen haben wir den Zahlenstrahl quasi ausgemalt. Jede Zahl erfüllt eine dieser Bedingungen oder beide. In diesem Bereich erfüllen wir beide Bedingungen. Eine Zahl von hier drüben erfüllt diese Bedingung. Eine Zahl von da hinten erfüllt diese Bedingung. Und man kann es einfach ausprobieren. 0 funktioniert. 0 + 7 = 7, was weniger als 27 ist. Und 3 * 0 ist weniger als 18, erfüllt also beide Bedingungen. Nehmen wir 4, sollte nur eine Bedingung erfüllt sein. -3 * 4 = -12, was weniger als 18 ist. Es erfüllt also diese Bedingung, aber nicht die andere. Denn 5 * 4 + 7 ist 27, und das ist nicht kleiner als 27. Es ist gleich 27. Nicht vergessen - hier steht "oder"! Man muss nur eine Bedingung erfüllen. 4 erfüllt diese Bedingung also geht sogar 4. Der ganze Zahlenstrahl funktioniert für eine oder beide Bedingungen.