Berechne Folgen in rekursiver Form

Gegeben ist die Funktion g. Bitte halte jetzt das Video an und versuche, herauszufinden, was g von 1 st, und was g von 2 ist und g von 3 und g von 4. Finde heraus, was all diese 4 sind. Ok, nun lass uns das zusammen herausfinden. Im Fall von g von 1, also wenn n gleich 1 ist, dann haben wir diesen Fall hier auf dieser Seite. Im Fall von g von 1, also wenn n gleich 1 ist, dann haben wir diesen Fall hier auf dieser Seite. Wenn n gleich 1 ist, ist g gleich 4. Das war ganz unkompliziert. Nun: g von 2. Wenn n gleich 2 ist, und 2 ist größer als 1 und eine ganze Zahl dann können wir diesen Fall nehmen. Und das ist interessant. Denn er ist in Form einer Funktion definiert. Aber es ist nicht in Form von g von n definiert, sondern g von n minus 1. Wenn n also 2 ist, weil wir g von 2 hier berechnen, dann ist das g von 2 minus 1, oder g von 1 plus 3,2. Plus 3,2. Also, was ergibt das? Wir wissen: g von 1 ergibt 4. Wir hatten das herausgefunden. 4 plus 3,2 ergibt 7,2. Lass uns weitermachen. g von 3: Damit sind wir wieder in diesem Fall. Denn 3 ist größer als 1 und eine ganze Zahl. Das hier ergibt g von 3 minus 1. Oder g von 2 plus 3,2. Plus 3,2. Also, wir wissen, was g von 2 ist: 7,2. Wir hatten das herausgefunden. Es it 7,2. 7,2 plus 3,2 ist gleich 10,4. Und nun g von 4. Damit sind wir wieder hier. Das is g von 3 plus 3,2. g von 3 plus 3,2. Was ergibt das? g von 3 hatten wir gerade berechnet: 10,4. 10,4 plus 3,2 ist 13,6 Und was Du hier hast, ist wirklich sehr interessant. Du kannst über diese Funktion g nachdenken. Sie ist über alle positiven ganzen Zahlen definiert. Und weil sie über ganze Zahlen definiert ist kannst Du sie Dir als Sequenz vorstellen. Und wir sehen, was die Sequenz ist. Der erste Term ist 4. Der zweite Termin ist 7,2. Der nächste ist 10,4. Der nächste ist 13,6. Und so könnte es immer weiter gehen. Und was passiert? Was passiert in dieser Sequenz? Wir beginnen mit 4. Wenn wir mit 4 starten gibt uns die Funktion dies. Wenn n gleich 1 ist ist die Funktion gleich 4. und für jeden Term danach nimmst Du den vorangegangenen Term und addierst 3,2. Also addieren wir 3,2 zum zweiten Term und addieren dies immer weiter dazu immer 3,2 Nun könnten wir auch gesagt haben: "Hey, lass uns eine Sequenz haben, wo der erste Term 4 ist und wir jeweils 3,2 addieren, um zum nächsten Term zu gelangen." "Hey, lass uns eine Sequenz haben, wo der erste Term 4 ist und wir jeweils 3,2 addieren, um zum nächsten Term zu gelangen." Aber dies ist ein anderer interessanter Weg, dies zu definieren. Und wenn wir dies so definieren, dann definieren wir eine algebraische Funktion, eine Funktion, die über alle positiven ganzen Zahlen definiert ist. und wo wir einen Basis-Fall haben. Und dieser Basis-Fall gibt uns in diesem Fall der erste Term. Dann gibt es den anderen Fall, der als Funktion definiert ist. Dann musst Du rückwärts gehen um schliesslich zum Basisfall zurückzukommen. Wir nennen dies eine rekursive Funktion. oder Rekursion. In diesem Beispiel sehen wir wie eine rekursive Funktion genutzt werden kannn um eine Sequenz zu definieren. Und wir sind in dieser Reihenfolge vorgegangen aber Du hättest auch den anderen Weg gehen können. Wenn ich gesagt hätte: "Was ist g von 6?" Wenn ich gesagt hätte: "Was ist g von 6?" In dem Fall hättest Du gesagt: "Ok, da ist dann g von 5 plus 3,2." Es ist der vorangegangene Termin plus 3,2. Wenn wir dies als Sequenz betrachten, dann müssen wir nur herausfinden was der vorangegangene Term ist. Wenn wir dies als Sequenz betrachten, dann müssen wir nur herausfinden was der vorangegangene Term ist. Wenn wir dies als Sequenz betrachten, dann müssen wir nur herausfinden was der vorangegangene Term ist. g von 5 ist also g von 4 plus 3,2. Und so würdest Du zurück und zuück und zurück gehen. Aber wir haben schließlich schon herausgefunden, was g von 4 ist. Es ist 13,6. Dann ist dies 16,8. Und wenn g von 5 damit 16,8 ist und Du 3,2 addierst, dann erhältst Du 20. Du könntest mit g von 6 starten und zurückgehen, den ganzen Weg bis g von 1. Du könntest mit g von 6 starten und zurückgehen, den ganzen Weg bis g von 1. Und dann findest Du heraus, was das ist. Du gehst zurück zu Deinem Basisfall. Und dann kannst Du die leeren Stellen ausfüllen. Lass uns noch ein paar von diesen Beispielen machen. Gegeben ist diese Funktion hier. Nehmen wir an, dass dies eine Sequenz definiert. Lass uns über den ersten Term nachdenken. und über die Sequenz. Halte doch hier das Video kurz an und denk darüber nach. Ok, lass es es uns nun zusammen herausfinden. h von 1 ist - das steht hier ganz eindeutig - das ist 14. Wenn n gleich 1 ist, ist h gleich 14. h von 2. Dann sind wir in diesem Fall. Denn 2 ist größer als 1 und eine ganze Zahl. So erhalten wir 28 geteilt durch h von n minus 1. Wir wissen: h von eins ist 14. Also ist dies 28 geteilt durch 14, also 2. Nun: h von 3. Bei h von 3 gilt wieder dieser Fall. Das ist 28 geteilt durch h von 2. Das ist 28 geteilt durch h von 2. Wenn wir dies als Sequenz sehen, geteilt durch den vorangegangenen Term in der Sequenz, so teilen wir 28 durch h von 2. Wenn wir dies als Sequenz sehen, geteilt durch den vorangegangenen Term in der Sequenz, so teilen wir 28 durch h von 2. Wenn wir dies als Sequenz sehen, geteilt durch den vorangegangenen Term in der Sequenz, so teilen wir 28 durch h von 2. Wir wissen: h von 2 ist 2. Das hatten wir vorher herausgefunden. Wir gehen zurück zu 14. Sehr interessant. Ich denken, Du erkennst, was hier passiert. h von 4 is 28 geteilt durch h von 3. 28 geteilt durch h von 3. Das ist 28 geteilt durch - das hier ist h von 3 - - wir hatten das zuvor herausgefunden - geteilt durch 14 ergibt wieder 2! Wenn wir uns dies als Sequenz vorstellen sagen wir: "Ok, der erste Term ist 14, dann erhalten wir 2, dann wieder 14, dann kommen wir zur 2. Wir können bei dieser Sequenz also sagen, dass sie zwischen 14 und 2 alterniert, also hier und her springt. Alle ungeraden Terme ergeben 14, alle geraden Terme ergeben in dieser Sequenz 2. Das ist ein Weg, darüber nachzudenken. Ein anderer Weg ist, wenn wir mit der 14 starten und jeder darauf folgende Termin ist 28 geteilt durch den vorangegangenen Term. Hier also ist 28 geteilt durch 14 gleich 2. 28 geteilt durch 2 ergibt 14 und 28 geteilt durch 14 ergibt 2. Und so geht das immer weiter und weiter. Und genau das passiert hier gerade. Lass uns noch ein Beispiel nehmen. Dies hier ist interessant. Hier haben wir zwei Basisfälle. Lass uns kurz darüber nachdenken. Was wir herausfinden wollen ist folgendes: was ist f von 4? f von 4 fällt in diesen Fall. 4 ist größer als 2 und eine ganze Zahl. Wir haben also f von 4 minus, damit also f von 2 plus f von 4 minus 1, also plus f von 3. damit also f von 2 plus f von 4 minus 1, also plus f von 3. f von 4 ist also die Summe der vorangegangenen zwei Zahlen. f von 4 ist also die Summe der vorangegangenen zwei Zahlen. Lass uns das ausrechnen. Was ist f von 3? f von 3 fällt in diesen Fall. Es ist f von 3 minus 2, also von 1 plus f von 3 minus 1, also plus f von 2, und damit die Summe der vorangegangenen zwei Zahlen. Lass uns herausfinden, was f von 2 ist. Dieses mal bilden wir nicht mehr die Summe der vorangegangenen zwei Zahlen. Dieses mal bilden wir nicht mehr die Summe der vorangegangenen zwei Zahlen. Wir fallen unter diesn Basisfall. n ist gleich 2. Also ist es gleich -4. Und wir müssen herausfinden, was f von 1 ist. Wir sehen, wenn n ist gleich 1, ist f gleich -6. Wir haben zwei Basisfälle hier. Basisfälle, die nicht als Funktion definiert sind. Basisfälle, die nicht als Funktion definiert sind. Und Du brauchst dies, weil Du sonst für immer rückwärts gehen würdest. Und Du brauchst dies, weil Du sonst für immer rückwärts gehen würdest. Du würdest niemals zu Zahlen kommmen. Nun können wir dies nutzen, um die Werte hier zu berechnen. Die Sequenz ist -6 wann gehen wir zu -4 als der zweite Temr und der dritte Term ist die Summe der beiden vorangegangenen. -6 plus - 4 is -10. -6 plus - 4 ist -10. Der vierte Term is die Summe der beiden vorangegangenen Terme. Wir sehen das hier. Der zweite Term, f von 2 plus f von 3. -4 plus -10 ergibt -14. Wir könnten das immer weiter so rechnen. Dies hier is -14. Der Sinn dieses Videos war, dass Du etwas vertrauter mit rekursiven Funktionen wirst. Ausserdem kannst Du sehen, wie diese genutzt werden können, um eine Sequenz zu definieren. Ausserdem kannst Du sehen, wie diese genutzt werden können, um eine Sequenz zu definieren.