Lösungen von Ungleichungen prüfen

Finde heraus, ob die gegebenen Paare (3,5) und (1,7) Lösungen für die Ungleichung 5x minus 3y größer gleich 25 sind. 5x minus 3y größer gleich 25 sind. Probieren wir also beide dieser Paare aus. Wir können schauen, was passiert, wenn x gleich 3 und y gleich 5 in dieser Ungleichung sind, Wir können schauen, was passiert, wenn x gleich 3 und y gleich 5 in dieser Ungleichung sind, und sehen, ob es funktioniert. Dann machen wir dasselbe für 1 und -7. Fangen wir zunächst für 3 und 5 an. Fangen wir zunächst für 3 und 5 an. Wenn x gleich 3 ist, ist y gleich 5. Setzen wir dies hier ein. Wir erhalten also 5 mal 3, am besten farblich hervorgehoben. Wir erhalten also 5 mal 3, am besten farblich hervorgehoben. Also 5 mal 3 minus 3 mal 5. Also 5 mal 3 minus 3 mal 5. Also 5 mal 3 minus 3 mal 5. Ist das hier größer oder gleich 25? 5 mal 3 ergibt 15. Davon subtrahieren wir dann 15 und sehen, ob es größer oder gleich 25 ist. Davon subtrahieren wir dann 15 und sehen, ob es größer oder gleich 25 ist. Wir wissen es nicht, daher hier ein Fragezeichen. And 15 minus 15 ist gleich 0. Wir erhalten schließlich den Ausdruck: 0 ist größer oder gleich 25. Das stimmt nicht. 0 ist kleiner als 25. Also nicht richtig. Also nicht richtig. Dieses gegebene Paar ist also keine Lösung für diese Ungleichung. Dieses gegebene Paar ist also keine Lösung für diese Ungleichung. Du setzt x gleich 3, y gleich 5, und erhältst: 0 ist größer oder gleich 25, was natürlich nicht korrekt ist. Du setzt x gleich 3, y gleich 5, und erhältst: 0 ist größer oder gleich 25, was natürlich nicht korrekt ist. Du setzt x gleich 3, y gleich 5, und erhältst: 0 ist größer oder gleich 25, was natürlich nicht korrekt ist. Nun versuchen wir es mit 1 und -7. WIr haben also: 5 mal 1 minus 3 mal -7 muss größer oder gleich 25 sein. WIr haben also: 5 mal 1 minus 3 mal -7 muss größer oder gleich 25 sein. 5 mal 1 ist 5, minus 3 mal -7 und wir erhalten -21. 5 mal 1 ist 5, minus 3 mal -7 und wir erhalten -21. Also haben wir: minus -21 ist größer oder gleich 25. Also haben wir: minus -21 ist größer oder gleich 25. Das ist dasselbe wie 5 plus 21. Subtrahieren negativer Zahlen ist dasselbe wie eine positive zu addieren. Das ist dasselbe wie 5 plus 21. Subtrahieren negativer Zahlen ist dasselbe wie eine positive zu addieren. Also ist 5 plus 21 größer oder gleich 25. 5 plus 21 ergibt 26 und ist in der Tat größer oder gleich 25. Das klappt also. Das ist eine Lösung. Um das hier zu visualisieren, zeichne ich nun einmal diese Ungleichung. Um das hier zu visualisieren, zeichne ich nun einmal diese Ungleichung. Ich zeige euch nicht explizit, wie ich diesmal vorgehe, aber ich zeige euch, wo diese Punkte relativ zur Lösung liegen. wo diese Punkte relativ zur Lösung liegen. Wir haben also 5x-- wieder in einer anderen Farbe. Wir haben also 5x-- wieder in einer anderen Farbe. So das ist die richtige Farbe. Wir haben: 5x minus 3y ist größer oder gleich 25. Schreiben wir diese Ungleichung in Achsenabschnittsform. Schreiben wir diese Ungleichung in Achsenabschnittsform. Das wäre also dasselbe. Wenn wir beiderseits 5x subtrahieren, erhalten wir: -3y ist größer als oder gleich -5x plus 25. Wenn wir beiderseits 5x subtrahieren, erhalten wir: -3y ist größer als oder gleich -5x plus 25. Wenn wir beiderseits 5x subtrahieren, erhalten wir: -3y ist größer als oder gleich -5x plus 25. Ich habe einfach 5x von beiden Seiten subtrahiert. Das fällt also weg und wir haben eine -5x hier drüben. Nun dividieren wir beide Seiten dieser Gleichung bzw. Ungleichung durch -3. Nun dividieren wir beide Seiten dieser Gleichung bzw. Ungleichung durch -3. Beim Dividieren bzw. Multiplizieren beider Seiten einer Ungleichung durch eine negative Zahl, Beim Dividieren bzw. Multiplizieren beider Seiten einer Ungleichung durch eine negative Zahl, verändert sich das (Un-)gleichheitszeichen. Wenn wir also beiderseits durch 3 dividieren, erhalten wir: y ist kleiner also oder gleich, -5 geteilt durch -3 ist 5/3x. y ist kleiner also oder gleich, -5 geteilt durch -3 ist 5/3x. Und dann 25 geteilt durch -3 ist -25/3. Dies ist nun unser Ausdruck bzw. unsere Ungleichung, y ist kleiner oder gleich 5/3 x minus 25/3. Für den Graphen mache ich lediglich eine grobe Zeichnung, einfach nur um es zu visualisieren. Für den Graphen mache ich lediglich eine grobe Zeichnung, einfach nur um es zu visualisieren. Für den Graphen mache ich lediglich eine grobe Zeichnung, einfach nur um es zu visualisieren. Unser y-Abschnitt ist -25/3. Das ist dasselbe wie -8 und 1/3. Das sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ein wenig mehr als 8. Unser y-Achsenabschnitt ist -8 und 1/3, wie hier, und besitzt eine Steigung von 5/3. Unser y-Achsenabschnitt ist -8 und 1/3, wie hier, und besitzt eine Steigung von 5/3. Das heißt also: Für 3 nach rechts steigt er um 5. Nach rechts 1, 2, 3 steigt er um 5. Die gerade sieht dann ungefähr so aus. Dies ist nur eine grobe Zeichnung. Die Gerade sieht ein wenig wie diese hier aus. Das wäre der Fall, wenn wir y gleich 5/3 x minus 25/3 hätten. Hier haben wir jedoch eine Ungleichung. y ist größer als oder gleich. Für jedes x also sind die y´s, die sie lösen, die y´s, die 5/3 x minus 25/3 lösen, das wäre auf der Linie. Für jedes x also sind die y´s, die sie lösen, die y´s, die 5/3 x minus 25/3 lösen, das wäre auf der Linie. Dieser Punkt hier. Und alle kleineren y´s- Die Lösung stellt also dieser ganze Bereich hier dar. Da es kleiner als oder gleich ist, können wir die Linie miteinschließen. Das Gleichheitszeichen erlaubt uns, die Linie miteinzubeziehen und das Kleinerzeichen erlaubt uns, unterhalb dieser Linie zu gehen. Wir können die nachprüfen, indem wir die zwei Punkte hier betrachten. Wir können die nachprüfen, indem wir die zwei Punkte hier betrachten. Wir haben gesehen, dass (3,5) kein Teil der Lösung ist. (3,5) ist 1, 2 -- genau hier und dann 5 hinauf. (3,5) ist 1, 2 -- genau hier und dann 5 hinauf. (3,5) befindet sich also genau hier oben. Im Bereich oberhalb dieser Linie, daher also nicht innerhalb des Lösungsbereichs. Im Bereich oberhalb dieser Linie, daher also nicht innerhalb des Lösungsbereichs. Dann befindet sich (1,-7) genau hier drüben, also fast auf der Linie. Dann befindet sich (1,-7) genau hier drüben, also fast auf der Linie. Dann befindet sich (1,-7) genau hier drüben, also fast auf der Linie. Aber eben noch innerhalb des Lösungsbereichs. Hoffentlich bekommt ihr dadurch ein bisschen mehr Gefühl beim Visualisieren dieser Dinge. Hoffentlich bekommt ihr dadurch ein bisschen mehr Gefühl beim Visualisieren dieser Dinge. Wir werden uns mit diesem Thema noch vertiefter in den folgenden Videos beschäftigen.