Wahrscheinlichkeitsfunktion

. Im letzten Video habe ich den Begriff der Wahrscheinlichkeits... wir haben eigentlich mit Zufallsvariablen begonnen, dann fuhren wir fort mit zwei Arten von Zufallsvariablen, Wir hatten die diskreten, die eine endliche Anzahl von Werten annehmen konnten, und ich wollte sagen, dass diese häufig ganze Zahlen seien, aber sie müssen nicht immer ganze Zahlen sein. Man hat die diskreten, und "endlich" heißt hier, dass man nicht unendlich viele Werte für eine diskrete Zufallsvariable haben kann. Und dann haben wir die kontinuierlichen, die eine unendliche Anzahl von Werten annehmen können. Und das Beispiel, das ich gab, für kontinuierlich, war: wir haben eine Zufallsvariable x und man benutzt - ich ändere das ein bisschen, so dass man sieht, dass es auch anders heißen kann als x, sagen wir, wir haben die Zufallsvariable Groß-Y - man verwendet häufig Großbuchstaben - entspricht der genauen Menge von Regen am morgigen Tag. Und ich meine auch Regen, weil ich komme aus Nord-Kalifornien. Es regnet tatsächlich ganz schön stark zur Zeit. Es war trocken bislang, insofern ist es positiv. Wir waren in so etwas wie einer Dürrezeit, also ist alles gut. Also die genau Menge an Regen am morgigen Tag. Und sagen wir mal, ich weiß nicht genau, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür aussieht, aber ist wähle eine und wir versuchen, diese zu verstehen. Nur damit ihr versteht, wie man kontinuierliche Zufallsvariablen auffassen kann. Ich zeichne jetzt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung oder man sagt auch, es ist ihre Wahrscheinlichkeitsdichte. Und das zeichnet man so... Sagen wir mal, so... es sieht ungefähr so aus. . Ungefähr so. Gut, und ich weiß nicht, was die Höhe bedeutet. Also die x-Achse ist die Menge an Regen. Das hier ist 0 Inch, das ist 1 Inch, das ist 2 Inch, das ist 3 Inch, 4 Inch. Und dann gibt es eine Höhe. Sagen wir, es ist hier am höchsten, weiß nicht, vielleicht 0,5. . Also wie versteht man das? Wenn du das anschaust und ich frag dich, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass Y - denn das ist unsere Zufallsvariable - dass Y ganz genau 2 Inch groß ist? Dass Y genau 2 Inch groß ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das der Fall ist? Naja, wenn bedenken, wie wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung für diskrete Zufallsvariablen benutzt haben, dann sagen wir OK, mal sehen. 2 Inch, das wollen wir haben. Wir gehen hier hoch. Du würdest sagen, es sieht so nach 0,5 aus. Und du würdest sagen, weiß nicht, ist die Wahrscheinlichkeit vielleicht 0,5? Und ich würde sagen, nein, es ist nicht 0,5. Und bevor wir das jetzt visuell interpretieren, sollten wir logisch darüber nachdenken. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir morgen genau 2 Inch Regen haben werden? Nicht 2,01 Inch Regen, nicht 1,99 Inch Regen. Nicht 1,99999 Inch Regen, nicht 2,0000001 Inch Regen. Haargenau 2 Inch Regen. Ich meine, nicht mal ein einziges Atom, also Wassermolekül, mehr als die 2-Inch-Marke. Und nicht ein einziges Wassermolekül unter der 2-Inch-Marke. Das ist im Grunde Null, richtig? Das mag jetzt unintuitiv sein, weil ihr vielleicht gehört habt, dass wir 2 Inch Regen hatten letzte Nacht. Aber denkt mal nach, ganz genau 2 Inch? Normalerweise, wenn es 2,01 ist, dann sagt man 2. Aber wir sagen hier nein, das zählt nicht. Das sind nicht 2 Inch. Wir wollen haargenau 2. 1,99 zählt nicht. Normalerweise haben wir noch nicht mal Messgeräte, um zu messen, ob es genau 2 Inch sind. Kein Lineal kann exakt 2 Inch messen. An irgendeiner Stelle, so sind die Dinge nun mal, wird es ein überzähliges Atom geben, hier und da. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendwas ganz genau einer Maßzahl entspricht, bis in alle Nachkommastellen, ist eigentlich Null. Wenn wir über kontinuierliche Zufallsvariablen sprechen, könnte man fragen: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Y ungefähr 2 ist? Wenn wir also sagen: der Betrag von Y - 2 ist geringer als ein Tolenranzwert? Ist geringer als 0,1. . Wenn ihr das seltsam findet, dann kann man auch sagen: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Y größer ist als 1,9 und kleiner als 2,1? Die beiden Aussagen sind äquivalent. Ich lass euch mal drüber nachdenken. Aber vielleicht klingt es jetzt weniger seltsam. Jetzt haben wir hier ein Intervall. Wir haben alle Y's zwischen 1,9 und 2,1. Das heißt jetzt geht es um diese Fläche hier. Und das ist wichtig: die Fläche. Wenn man wissen will, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass das passiert, dann muss man die Fläche unterhalb der Kurve messen, von diesem Punkt bis zu diesem Punkt. Und wenn ihr Analysis gemacht habt, dann wisst ihr, das entspricht dem bestimmten Integral dieser Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion von hier bis hier. Also von... wartet mal, ich hab keinen Platz mehr. Sagen wir, dieser Graph... ich zeichne den mal in einer anderen Farbe. Wenn diese Linie definiert wird durch f(x). Ich könnte es auch p von x nennen oder sonstwie. Die Wahrscheinlichkeit, dass das passiert, ist gleich dem Integral, für alle, die Analysis gemacht haben, von 1,9 bis 2,1 von f(x) dx. Wobei das hier die x-Achse ist. Also das ist echt wichtig. Denn wenn eine Zufallsvariable eine unendliche Anzahl von Werten annehmen kann oder wenn es jeden Wert innerhalb eines Intervalls annehmen kann, wenn man dann einen exakten Wert nimmt, zum Beispiel 1,999, dann ist die Wahrscheinlichkeit gleich Null. Das ist, als ob du fragst, wie groß ist die Fläche unterhalb der Kurve auf nur dieser Linie hier. Oder, noch genauer, als ob du fragst, was ist die Fläche einer Linie? Die Fläche einer Linie, wenn du eine Linie zeichnest, würdest du sagen, Fläche ist Höhe mal Breite. Nun ja, die Höhe ist vorhanden, aber die Breite, wie breit ist eine Linie? So wie wir normalerweise eine Linie definieren, hat sie keine Breite und deshalb hat sie auch keine Fläche. Und das sollte intuitiv klar sein. Dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein superexaktes Ding stattfindet ziemlich genau Null ist. Deshalb musst du eigentlich fragen, OK, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir der 2 nahekommen? Und dann kannst du die Fläche definieren. Und wenn du sagst, oh, wie hoch ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass 1-3 Inch Regen fallen, dann ist die Wahrscheinlichkeit viel höher. Die Wahrscheinlichkeit viel höher. Das entspricht dem ganzen hier. Du kannst auch fragen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir weniger als 0,1 Inch Regen haben? Dann schaut man hier und wenn hier 0,1 wäre, dann berechnest du diese Fläche hier. Und du kannst fragen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir mehr als 4 Inch Regen haben morgen? Dann startest du hier und berechnest die Fläche der Kurve bis nach Unendlich, wenn die Kurve eine Fläche bis Unendlich hat. Und hoffentlich wird das keine unendliche Größe, richtig? Dann würde nämlich der Wahrscheinlichkeitswert keinen Sinn ergeben. Aber hoffentlich bekommt man aus dieser Summe eine endliche Zahl. Und, sagen wir mal, es gibt nur eine 10%ige Chance, dass morgen über 4 Inch Regen fallen. Und das alles sollte direkt zu der Erkenntnis führen, dass die Wahrscheinlichkeit von allen Möglichkeiten, die vorkommen könnten, nicht größer als 100% sein sollte. Richtig? Alle Möglichkeiten zusammen genommen - die Wahrscheinlichkeit, dass eine dieser Möglichkeiten eintritt, ist eins. Das heißt, die gesamte Fläche unter dieser Kurve ist eins. Wenn wir also das Integral von f(x) von 0 bis Unendlichkeit nähmen, so wie ich es gezeichnet habe, sollte gleich 1 sein. Für alle, die Analysis gemacht haben. Für alle anderen: ein Integral ist einfach die Fläche unter einer Kurve. Schaut euch einfach das Analysis-Video an, wenn ihr ein bisschen mehr darüber erfahren wollt. Und das gleiche gilt für diskrete Wahrscheinlichkeits- verteilungen. Ich zeichne mal eine. Die Summe aller dieser Wahrscheinlichkeiten muss eins sein. Und das Beispiel mit den Würfeln... oder nehmen wir die Münze, das geht schneller - die zwei Wahrscheinlichkeiten müssen gleich eins sein. Das ist 1 und 0, wobei x gleich 1, wenn es Kopf ist oder gleich 0, wenn es Zahl ist. Jede muss 0,5 sein. Also sie müssen nicht 0,5 sein, aber wenn eine 0,6 wäre, dann müsste die andere 0,4 sein. Sie müssen sich zu 1 aufaddieren. Wenn eine davon - du kannst nicht eine 60%-ige Wahrscheinlichkeit für Kopf haben und auch eine 60%-ige Wahrscheinlichkeit für Zahl. Weil dann hätte man eine 120%-ige Wahrscheinlichkeit, dass eins von beiden passiert und das macht wirklich keinen Sinn. Es ist also wichtig einzusehen, dass die Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, in diesem Fall von einer diskreten Zufallsvariablen, sich immer zu 1 aufaddiert. Also 0,5 plus 0,5. Und in diesem Fall muss die Fläche unter der Dichtefunktion gleich 1 sein. So, die Zeit ist um. Im nächsten Video werde ich das Konzept eines Erwartungswerts vorstellen. Bis bald. .