Streckungen und Eigenschaften

In diesem Video schauen wir uns an, welche Eigenschaften von Formen bei Streckungen erhalten bleiben und welche nicht erhalten bleiben. Wir haben hier ein Viereck und strecken es von Punkt P aus. Ich habe hier eine Funktion zum Strecken. Die erste Frage lautet: Bleiben die Koordinaten der Eckpunkte erhalten? Pausiere das Video und denke darüber nach. Probieren wir es aus. Wir sehen hier bei einer beliebigen Streckung, dass die Koordinaten nicht erhalten bleiben. Der Punkt, der Punkt D entspricht, hat jetzt eine andere Koordinate. Der Eckpunkt, der A entspricht, hat jetzt andere Koordinaten. Dasselbe gilt für B und C. Die entsprechenden Punkte befinden sich nach der Streckung an einem anderen Punkt des Koordinatensystems. In diesem Fall bleiben also die Koordinaten der Eckpunkte nicht erhalten. Kommen wir zur nächsten Frage. Liegen die entsprechenden Strecken nach der Streckung auf derselben Gerade? Ich strecke also wieder, und du siehst, dass dieser Punkt B', der Punkt B entspricht, und der Abschnitt B'C' nicht auf derselben Gerade liegt wie BC. Der Abschnitt A'D' hingegen, der dem Abschnitt AD entspricht, liegt auf derselben Gerade. Denken wir darüber nach, warum das so ist. Wenn wir eine Gerade zeichnen, die Abschnitt AD enthält, geht diese auch durch Punkt P. Und wenn wir strecken, wird dieser Abschnitt hier vergrößert und bewegt sich entlang derselben Geraden. Aber die anderen Abschnitte tun das nicht, da der Punkt P nicht auf derselben Gerade liegt, auf der diese Abschnitte liegen. Wir vergrößern es also wieder und du kannst es sehen. Die nächste Frage: Bleiben Winkelmaße erhalten? Es sieht so aus, als würden sie erhalten bleiben. Bei Streckungen bleiben Winkelmaße erhalten. Dieser Winkel ist immer noch ein rechter Winkel. Dieser Winkel B hier ist genauso groß wie Winkel B'. Und dasselbe gilt für alle anderen Punkte hier. Kommen wir zur letzten Frage. Bleiben Seitenlängen, Umfang und Fläche erhalten? Wenn wir nach außen strecken, sehen wir sofort, dass z.B. der Abschnitt, der AD entspricht, länger geworden ist. Wenn wir nach außen strecken werden alle entsprechenden Abschnitte größer. Und wenn sie alle größer werden, dann vergrößern sich auch der Umfang und die Fläche. Und wenn wir nach innen strecken, werden sie alle kleiner. Seitenlängen, Umfang und Fläche bleiben also nicht erhalten. Stellen wir uns dieselben Fragen bei einer weiteren Streckung. Und das wird interessant, da wir uns eine Streckung anschauen werden, deren Mittelpunkt einer der Eckpunkte unserer Form ist. Ich scrolle nach unten und benutze wieder dieselbe Funktion. Wir haben hier Dreieck ABC, und strecken von Punkt C aus. Denken wir, dass die Koordinaten der Eckpunkte erhalten bleiben? Strecken wir also nach außen. Du siehst, dass Punkt C erhalten bleibt. Nach der Streckung befindet er sich an derselben Stelle, aber die Punkte, die A und B entsprechen, bleiben nicht erhalten. Wir nennen diesen Punkt A' und er hat definitiv andere Koordinaten als A. Und B' hat definitiv andere Koordinaten als B. Was ist mit den entsprechenden Strecken? Liegen sie auf derselben Gerade? Manche davon ja, andere nicht. Schauen wir uns die Abschnitte AC und BC an. Beim Strecken sehen wir, dass die entsprechenden Abschnitte A'C' bzw. B'C' immer noch auf derselben Gerade liegen. Das liegt daran, dass der Punkt C, von dem aus wir gestreckt haben, auf diesen ursprünglichen Abschnitten lag. Wir verlängern also quasi den Punkt, der nicht das Streckungszentrum ist. Wir verlängern die Strecke und entfernen uns davon. Oder, wenn wir nach innen strecken, würden wir dieselbe Gerade kürzen, aber ein paar Abschnitte überlappen nicht auf derselben Gerade. Zum Beispiel A'B' liegt nicht auf derselben Gerade wie AB. Was ist mit den Winkelmaßen? Darüber haben wir bereits gesprochen. Winkelmaße bleiben bei Streckungen erhalten. Der Winkel von C bleibt erhalten, und genauso ist es auch bei A' und B' hier drüben. Und was ist mit Seitenlängen? Du siehst, dass, wenn ich nach außen strecke, sich meine Seitenlängen verlängern, oder, wenn ich nach innen strecke, sich meine Seitenlängen verkürzen. Also bleiben Seitenlängen nicht erhalten. Und wenn Seitenlängen nicht erhalten bleiben, dann bleiben auch Umfang und Fläche nicht erhalten. Du kannst die Fläche als eine Funktion der Seitenlängen betrachten. Wenn wir so nach außen strecken, vergrößern sich Umfang und Fläche. Wenn wir nach innen strecken, verkleinern sich Umfang und Fläche.